Определение нелинейного уравнения

Нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

.                                                              (8.1.1)

Совокупность значений переменной

, при которых уравнение (8.1.1) превращается в тождество, называется решением

этого уравнения, а каждое значение

 из этой совокупности называется корнем уравнения. Например, уравнение  имеет два корня: . Для проверки этого утверждения необходимо каждое из этих двух значений подставить в уравнение и убедиться в том, что уравнение обращается в тождество. На графике функции корнями являются те значения , в которых функция обращается в ноль. На рис. 8.1.1 приведен график функции , полученной после преобразования уравнения , на котором хорошо определяются значения корней уравнения  (в этом и заключается графический метод нахождения корней нелинейного уравнения).

Рис. 8.1.1. К определению корней нелинейного уравнения

Если в запись уравнения входят только алгебраические функции (четыре арифметические операции и возведение в степень), то уравнение называется алгебраическим, и оно после необходимых преобразований может быть записано в виде:

.                           (8.1.2)

Числа

называются коэффициентами уравнения, и в дальнейшем будем полагать, что все коэффициенты являются вещественными (хотя они могут быть и комплексными). Корни уравнения при этом могут быть как вещественными, так и мнимыми.

Известно, что уравнение (8.1.2)

- го порядка имеет  корней и допускает представление

,                                (8.1.3)

где

 – корни уравнения (8.1.2). Если поделить (8.1.2) на , то порядок полученного алгебраического уравнения

                                   (8.1.4)

будет на единицу меньше, и среди его корней не будет корня

. В справедливости нетрудно убедиться, используя формулу (8.1.3). Этот прием понижения порядка уравнения будет часто использоваться в дальнейшем.

Нелинейное уравнение, в которое входят трансцендентные

функции (показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции), называется трансцендентным. Примером может служить уравнение

, корни которого определяются как .

Решение уравнения можно найти, используя различные методы: аналитические (корни определяются аналитическим выражением), графические (приближенные значения корней находятся из графика – пример рис. 8.1.1), численные (приближенные численные значения корней определяются в результате некоторой вычислительной процедуры). В дальнейшем будут рассматриваться только численные методы.

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

• отделение корней;
• уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.



Содержание раздела



---







---