Отделение корней нелинейного уравнения

Корень

 уравнения  считается отделенным на отрезке , если на этом отрезке уравнение  не имеет других корней. Такой отрезок можно назвать отрезком отделения корня. Следовательно, отделить корни, значит, разбить всю область допустимых значений корней на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень уравнения. Отделение корней можно осуществить одним из двух методов: аналитическим

или графическим.

Аналитическое отделение корней основано на следующем утверждении: если функция

непрерывна и монотонна на отрезке  и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка  содержится только один корень уравнения .

Графическое отделение корней заключается в построении графика функции

 и взятии в качестве отрезка отделения  окрестность точки пересечения функции с осью .

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD, в дальнейшем будет использоваться графический метод. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример 8.1.1. Дано алгебраическое уравнение

 

.                                                   (8.1.5)

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рис. 8.1.2 приведен график функции

, построенный в MathCAD. Видно, что в качестве интервалов локализации можно взять следующие интервалы:   . Так, если алгебраическое уравнение третьей степени имеет три корня, то для всех трех корней определены интервалы локализации. ¨

Рис. 8.1.2. Отделение корней уравнения (8.1.5)

Пример 8.1.2. Дано алгебраическое уравнение

 

.                                                     (8.1.6)

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рис. 8.1.3 приведен график функции

, построенный в MathCAD. Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение (8.1.6) имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Рис. 8.1.3. Отделение корней уравнения (8.1.7)

Содержание раздела

---

---