Программирование и решение задач в пакете MathCAD

       

Отделение корней нелинейного уравнения


Корень

Отделение корней нелинейного уравнения
 уравнения
Отделение корней нелинейного уравнения
 считается отделенным на отрезке
Отделение корней нелинейного уравнения
, если на этом отрезке уравнение
Отделение корней нелинейного уравнения
 не имеет других корней. Такой отрезок
Отделение корней нелинейного уравнения
можно назвать отрезком отделения корня. Следовательно, отделить корни, значит, разбить всю область допустимых значений корней на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень уравнения. Отделение корней можно осуществить одним из двух методов: аналитическим

или графическим.

Аналитическое отделение корней основано на следующем утверждении: если функция

Отделение корней нелинейного уравнения
непрерывна и монотонна на отрезке
Отделение корней нелинейного уравнения
 и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка
Отделение корней нелинейного уравнения
 содержится только один корень уравнения
Отделение корней нелинейного уравнения
.

Графическое отделение корней заключается в построении графика функции

Отделение корней нелинейного уравнения
 и взятии в качестве отрезка отделения
Отделение корней нелинейного уравнения
 окрестность точки пересечения функции
Отделение корней нелинейного уравнения
с осью
Отделение корней нелинейного уравнения
.

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD, в дальнейшем будет использоваться графический метод. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример 8.1.1. Дано алгебраическое уравнение

 

Отделение корней нелинейного уравнения
.                                                   (8.1.5)

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рис. 8.1.2 приведен график функции

Отделение корней нелинейного уравнения
, построенный в MathCAD. Видно, что в качестве интервалов локализации можно взять следующие интервалы:
Отделение корней нелинейного уравнения
 
Отделение корней нелинейного уравнения
 
Отделение корней нелинейного уравнения
. Так, если алгебраическое уравнение третьей степени имеет три корня, то для всех трех корней определены интервалы локализации. ¨

Отделение корней нелинейного уравнения

Рис. 8.1.2. Отделение корней уравнения (8.1.5)

Пример 8.1.2. Дано алгебраическое уравнение

 

Отделение корней нелинейного уравнения
.                                                     (8.1.6)

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рис. 8.1.3 приведен график функции

Отделение корней нелинейного уравнения
Отделение корней нелинейного уравнения
, построенный в MathCAD. Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал
Отделение корней нелинейного уравнения
. Однако уравнение (8.1.6) имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Отделение корней нелинейного уравнения

Рис. 8.1.3. Отделение корней уравнения (8.1.7)



Содержание раздела